בפוסט לקריאה נוספת העליתי כמה תהיות לגבי הפיצ'ר של אמזון 'ספרים בנושאים קשורים' והביצועים התמוהים שלו. הפוסט הזה הולך לכיוון קצת יותר אבסטרקטי ותוהה באופן כללי על המונח 'ספרים קשורים' לאור פרדוקס הערימה. הבעייתיות הזו, בהכללה, רלוונטית ללא מעט שאלות מדעיות (ולפתרונן).
אולי כדאי להתחיל באבסטרקציה אמיתית – כזו שמטשטשת את הפער המובנה בין שפה למציאות או בין קבוצה דיסקרטית לרצף.
פרדוקס הקירח (פרדוקס הערימה)
אדם ללא שערה בודדת על קודקודו הוא קירח, כך נדמה שמסכימים כולם. מאידך, אדם שראשו מכוסה שערות (כמה מאות אלפים?) אינו קירח, גם זה מקובל על הכל. הגיוני ומוסכם שתוספת (או תלישה) של שערה לא תשנה את מצב שעירותו של האדם – אם היה קירח הוא עדיין קירח ולהפך. אם נשתמש בעיקרון האינדוקציה המתמטית (המקובל מאוד במתמטיקה המודרנית) נגיע למסקנה הלוגית המתבקשת שכולם קירחים או שאין בכלל קירחים שהרי אם ניקח קירח ונוסיף לו שערה בודדת הוא עדיין ישאר קירח. נוסיף לו שערה נוספת, ובהתאם לעיקרון ששערה יחידה לא משנה את מצב הקרחת, הוא עדיין קירח. נמשיך להוסיף שערה אחרי שערה והבחור עדיין קירח, כך לפחות על פי הגיון האינדוקציה, בעוד שברור לכל בר דעת שבשלב מסויים, אחרי הוספת מאות אלפי שערות, האדם הנ"ל כבר לא יהיה יותר קירח. זה גם פועל בכיוון השני – העולם שורץ קירחים שאיבדו את שערותיהם אחת אחרי השניה - קירחים שזוכים להתעלמות מתמטית.
פרדוקס הקירח (הידוע גם כפרדוקס הערימה ובאופן כללי כפרדוקס סוריטס) שייך למשפחת הפרדוקסים המכונים פרדוקסים של עמימות, כלומר פרדוקסים המדגימים שיש פער בין השפה האנושית, העמומה מעצם טבעה לבין הגדרה מתמטית של השפה (או המציאות). מתי קירח נחשב קירח? מתי ערימה נחשבת ערימה.
אחד הציטוטים החביבים עלי הוא של פרופ' שהרון שלח, בנו של משורר (יונתן רטוש) ומרצה ללוגיקה מתמטית שאמר לנו בשיעור הראשון משהו בסגנון "לכאורה העולם היה יפה ופשוט יותר אם בני האדם היו משתמשים בשפה פורמלית (פורמלית במובן המתמטי. א.צ.). אבל אז לא הייתה עבודה לפוליטיקאים," ואחרי פאוזה קצרה הוסיף באנחה "לפוליטיקאים ולמשוררים". [את הקטעון הזה העתקתי מהפוסט קרח מכאן ומכאן שבעקבות דורון רוזנבלום בכלל עסק בהישרדות הפרדוקסלית של אולמרט ובתרבות הספין.]
ספרים קשורים
בפוסט המקורי (לקריאה נוספת) הבאתי את המטוטלת של פוקו וצופן דה וינצ'י כדוגמא לשני ספרים שאין שונה מהם אבל קשה שלא להסכים שהם נופלים לקטגוריה של ספרים באותו נושא. לאחרונה יצא לי לשחק קצת עם אלגוריתם למציאת ספרים קשורים והנה כמה דוגמאות עמומות יותר ולפיכך שנויות יותר במחלוקת, כולם נמצאו על ידי האלגוריתם. במבט ראשון התוצאות נראו לי מפתיעות ולהלן אני מצרף את ההסבר המשוער (הסבר קוגניטיבי, לא אלגוריתמי) :
1. התפסן בשדה השיפון ופראני וזואי – שניהם של סאלינג'ר, למען האמת ולמיטב זיכרוני (קראתי אותם לפני בערך 15 שנה) שניהם משווקים רעיון די דומה ואפילו עוסקים באותה משפחה.
2. הארי פוטר והמשחק של אנדר – הז'אנרים שונים אבל שניהם ספרי ילדים (ומבוגרים), בשניהם מדובר על ילדים מיוחדים שנשלחים לבית ספר מיוחד, נאבקים בקנאת "המתחרים", מצליחים ליצור חבורה קטנה של חברים ובאופן כללי מיועדים לגדולות כגון הצלת העולם וניצחון על כוחות הרשע (לא קראתי את אנדר. אני אציין בסוגריים את הספרים שלא קראתי, כך שהאינטואיציה שלי לגביהם יכולה להיות שגויה לחלוטין).
3. התפסן בשדה השיפון וקובלנת פורטנוי (קרוי גם מה מעיק על פורטנוי ובמקור Portnoy’s complaint) – לא אותו ז'אנר, לא אותה תקופה, לא אותו סגנון ולא אותו נושא, אבל עיון בביקורות על פורטנוי מעלה השוואות מפורשות לתפסן. הגדיל אחד המבקרים וכתב שפורטנוי היהודי הוא "התפסן פוגש את וודי אלן".
4. סוויטה צרפתית ואלף שמשות זוהרות (לא קראתי את אלף שמשות) – טוב, נראה שהדמיון הוא בסיפור על פליטים באיזור מלחמה אבל המלחמה לא אותה מלחמה, הפליטים לא אותם פליטים והקונטקסט לא אתו קונטקסט (או שאני טועה).
סימטריות, טרנזיטיביות ופרדוקס ערימת הספרים
ספרים יכולים להיות קשורים בכל מיני רמות. הקשר יכול להיות עלילתי, נושאי או ז'אנרי (מילה עמומה בפני עצמה). האם הפירמה קשור לבחזקת חף מפשע יותר מאשר לדין פרוטה כדין מאה (במקור not a penny more, not a penny less)? האם ספר על המיתולוגיה היוונית קשור יותר לספר על כיבושי יוון או לספר על מיתולוגיה אמריקאית?
באופן אידיאלי, הקשר בין ספרים אמור להיות מיוצג כגרף עם משקולות למרחקים ואולי עם קשתות שונות לקשרים מסוג שונה [עכשיו כשאני חושב על זה, אולי צריך להמיר את הבעיה לבעיה בתורת הגרפים. צריך עוד לחשוב על זה]. אבל הבעיה שמטרידה אותי היא לא בעיה של ייצוג וגם לא בעיה של הסכמה א-פריורית על הגדרת הקשר בין ספרים אלא בעיה מסוג פרדוקס הערימה.
קודם כל, נניח שקשר בין ספרים הוא סימטרי כלומר אם כותר א' קשור לכותר ב' אזי גם כותר ב' קשור לכותר א'. נשמע נכון. כעת, הגיוני* להניח טרנזיטיביות על הקשרים בין ספרים, כלומר אם ספר א' קשור לספר ב' וספר ב' קשור לספר ג', אזי ספר א' קשור לספר ג'.
והנה אנחנו כבר מתחילים להרגיש את פרדוקס העמימות שנושף בעורפינו – שהרי גם אם ספר א' דומה מאוד לספר ב' וב' דומה לג', ג' דומה לד' וכן הלאה – ברור שא' לא בהכרך דומה לת'. דוגמא קונקרטית – בבקשה: הארי פוטר דומה, כאמור למשחק של אנדר. המשחק של אנדר דומה משהו לעריצה היא הלבנה (ז'אנר: מדע בדיוני, דיסאוטופי, חברתי-פוליטי. עלילה: מציאת מנהיג למהפכה, כהכנה לפלישה וכו'), אבל קשר בין הארי פוטר לעריצה היא הלבנה הוא קלוש-מינוס (טוב, שניהם, בעצם שלושתם זכו בפרס הוגו).
ניתוח הקשרים הולך ומסתבך כשמדברים על קשרים מסוגים שונים, ברמות שונות וברבדים שונים של היצירה, אבל אפילו במודל פשוט שמבוסס על סימטריה וטרנזיטיביות כבר נופל כאן במלכודת הפרדוקס שמקשה עד למאוד על עבודה מדעית שכוללת הגדרת מטריקה ובחינה נכונה של התוצאות - כלומר מתי אנחנו מסכימים על כך ששני ספרים הם קשורים ומתי, באיזה "מרחק" כבר נטען שהספרים אינם קשורים.
*האם הגיוני להניח טרנזיטיביות? במקרים מסויימים ברור שכן ובמקרים אחרים כנראה שלא. בכל אופן, אם נלך על מודל פשוט ונקבל את הנחת הטרנזיטיביות ניתקל בפרדוקס הערימה בצורה ישירה. אם לא נקבל את הנחת הטרנזיטיביות אז א) נאבד תכונה חשובה שנכונה לפחות לגבי תת קבוצה של האובייקטים/ספרים, ו-ב) ניתקל בפרדוקס בצורה עקיפה - מתי מותחים קשת (כלומר קשר) בין ספרים או בפרט - אם מתחנו קשת ביו בין א' לב' שהמרחק בינהם הוא d (המטריקה לא משנה) והמרחק בין א' לג' הוא d+e (או בשביל הדיסקרטיות d+1) אז למה לא נמתח גם קשת בין א' לג'
**הערה נטולת הפניה – אפשר לפתוח כאן דיון שלם על מתודות מדעיות ניסיוניות ועל מודלים מול מציאות וגם על יישומים מול מחקר, אבל זה כבר יהפוך את הפוסט לארוך ומבולגן אפילו יותר ממה שהוא עכשיו.
***ועוד הערה נטולת הפניה – הפוסט הזה, למרות שהוא מתחזה לפוסט ידעני ופסקני הוא למעשה קצת מבולבל. גם לעצמי עוד לא ניסחתי את הבעייתיות בבהירות מספקת. בשביל זה יש בלוג.
****ועוד הערה אחרונה - אולי יבוא/ו כאן פוסט/י המשך על ייצוג, הפרדה לינארית, הגדלת המימד וממתקים חמוצים-מתוקים שכאלו, אבל כנראה שאלו יבריחו את הקוראים הפחות מדעיים ולכן יש לנהוג בתבונה ומתינות, שלא לומר בנחישות ורגישות.
הו….תעתועי מושג הדומות (similarity)….
אני צריך למצוא את עבודת המאסטר שלי איפהשהו, יש שם סקירת ספרות יפה על הבעייתיות של מושג הדומות.
[כי בסופו של דבר, "ספרים קשורים" זה סוג של דומות.]
לפחות במחקר הקוגניטיבי (כלומר תפיסה של דומות על ידי אנשים) מסתבר ש:
- דומות איננה טרנזיטיבית
- דומות גם איננה סימטרית (אם א דומה ל ב זה לא אומר ש-ב דומה ל א)
- דומות תלויה באופן חזק בהקשר שבו נדרש השיפוט (הזכרת את זה על קצה המזלג בפוסט שלך). עד כדי כך חזקה התלות הזו, שאפילו חשוב איך מציגים את השאלה.
- עוד סוג של תלות בהקשר היא תלות באופציות לא רלוונטיות. אם מאיזה שהיא סיבה אתה מנסה להכריע למה א דומה יותר מתוך 4 אופציות, ונניח יש שני מועמדים טובים, ושניים רעים במיוחד. לפעמים שינוי הרעים במיוחד תחליף את הבחירה בין שני המועמדים הטובים.
בקיצור - בצד הקוגניטיבי של "ספרים קשורים", אני מניח שההתנהגות תהיה מוזרה אף יותר מהאלגוריתמים של אמאזון, ואחרים.
לגבי ספרות: הייתי מתחיל מהמאמר המפורסם של טברסקי מ 1977 בנושא שבטח אתה מכיר, וקורא דברים ש-גולדסטון כתב בסוף שנות ה 90 שאולי אתה גם מכיר.
עמית
אוגוסט 9th, 2008
דרך להימנע מהעמימות היא לא להיות בינארי אלא להגדיר שמרחק בין שני ספרים (לפחות לפי קריטריון כלשהו, המשך אפשר למדוד את זה אוקלידית) הוא מספר ולא רק כן או לא.
כך הנסיך הקטן רחוק מהארי פוטר 5 מבחינת פנטזיה ו30 מבחינת מיתולוגיה וכו' וכו'
מהגג
אוגוסט 9th, 2008
עמית -
במובן מסויים זה ממש מפתיע שדומות אינה סימטרית, אם כי גם אני קיבלתי תוצאות דומות (בבדיקה לא קוגניטיבית בעליל אלא חישובית). הסברתי את זה לעצמי בהקשרים ומרחקים כלומר אם אני מסתכל על n הספרים הכי דומים לספר מסויים אז ברור שאפשר שתהיה א-סמטריה.
עוד נקודה מעניינת (וראוייה לפוסט בפני עצמו), היא מתודת הניסויים השונות במדעים הקוגניטיביים ובמדעי המחשב - בהכללה, לחוקר במדעי המחשב אין את הידע והכלים והתקציב ואורך הנשימה לעשות ניסויים פסיכולוגיים עם קבוצת ביקורת אמיתית והחלפות של הפרמטרים. על כל אלו מנסים לפצות בשימוש במניפולציות סטטיסטיות ובלמידה חישובית אבל כמובן שזה לא בדיוק הדבר האמיתי.
אגב, הייתי שמח לקרוא את הסקירה בתזה שלך.
מהגג -
בדיוק לזה התכוונתי כשכתבתי שאפשר לייצג את הבעיה כגרף עם משקולות (משקולות=מרחק) אבל זו בדיוק הבעיה של העמימות - למה מרחק של 7 זה נחשב דומה אבל מרחק של 8 כבר לא דומה, כלומר מסיבות מעשיות (לממשל המלצה על ספרים דומים/באותו נושא), באיזשהו מצב נרצה לחתוך. המטריקה האידאלית תשקלל את סוגי הדמיון השונים, אבל זו כבר שאלה אחרת.
אורן
אוגוסט 10th, 2008
לדעתי לגיטימי לחלוטין בשיטת המשקולות לתת למשתמש להחליט כמה דמיון הוא מחפש. למשל - "האם אתה מעוניין בדמיון רב, דמיון מסוים או דמיון קלוש". כמובן שעדיין נשארת השאלה למה מרחק 7 זה דומה מאוד אבל מרחק 8 זה רק דמיון מסוים, אבל לפחות המחלוקת היא הגבול בין "דומה מאוד" ל"דמיון מסוים" ולא בין "דומה" ו"לא דומה". נדמה לי שכך שלמשתמש יהיה יותר קל להשלים עם זה שגבולות אלו נקבעו סובייקטיבית על ידי יוצר האלגוריתם (או על סמך ממוצעים סטטיסטיים של דגימת ספרים כלשהי).
nakamir
אוגוסט 10th, 2008
התגעגעתי מאוד לקרוא פוסטים שלך (מצטערת על התגובה הקצרנית, אין לי זמן לכתוב אפילו את עשרים ואחת המילים האלו, המשך יבוא).
דולי
אוגוסט 11th, 2008
דולי - וואו! איי סי דד פיפל…..
תודה. פעם בכמה זמן אני קופץ אליך לבקר ולבדוק אם אולי הוספת איזו תגובת הבהרה. אני רואה שהתגובה האחרונה היא מה-22 ליוני ומקלל את מקום העבודה החדש שלך
אורן
אוגוסט 12th, 2008
הבעייה לדעתי היא לא עם קביעת המשקולות, אלא הרב מימדיות. כלומר לא פרדוקס הערימה הוא המרכזי פה. אלא, איך מכריעים בעיה רב מימדית על ידי מדד חד מימדי.
למשל שני ספרים יכולים להיות מאד קרובים בנושא אבל מאד מאד רחוקים בקהל היעד (דוגמת צופן דה וינצ'י שהוזכר), או ממש להיפך מזה. איך מכריעים משניהם מה יותר דומה או מה יותר קרוב?
הבעייה כמובן מסתבכת כאשר מדובר ביותר משני ממדים. אבל השאלה היותר מעניינת היא מהם המימדים האלה בכלל? האם "קהל יעד" הוא מימד לגיטימי? האם "תקופה בה מתרחש הסיפור" הוא מימד לגיטימי? האם "ארץ המוצא של הסופר"? ואולי גם "שנת פרסום הספר"?
אורן - חיפשתי אצלי את התזה שלי על המחשב, ולא מצאתי (החלפתי כ 4 מחשבים ו3 ארצות מאז סיימתי אותה). נראה לי שאתה הרבה יותר קרוב אליה ממני. אם לא מילאו את בקשתי והעלימו אותה (אני חושב שבסופו של דבר לא עשיתי עבודה כזו טובה, ואני ממש חרד מהרגע שמישהו יפתח אותה ויגיד "איך לעזאזל העניקו לאידיוט הזה תואר שני") היא אמורה להימצא איפה שהוא בספריית הר הצופים, בחלק של מוסיקולוגיה.
עמית
אוגוסט 12th, 2008
עמית, אכן בהר הצופים
(ויש גם בספריה הלאומית):
http://aleph3.libnet.ac.il/F/R2V6P6VED1QFP6N9SR1BE1J278BPE4HYRQ23YMP3TQ9JBYUG34-04164?func=find-acc&acc_sequence=006127479
יובל
אוגוסט 13th, 2008
יובל ועמית -
הבעיה היא שאני כרגע בחו"ל עד בערך סוף אוגוסט כך שהקשר ביני ובין הספריות מתמצה באימיילים שאני מקבל ובהן הודעות על ספרים חדשים שהגיעו לספריה ועל ספרים שאצלי בסלון והגיע הזמן להחזיר.
אורן
אוגוסט 13th, 2008
תודה יובל…
אורן - אני מקווה שאתה עושה חיים. אם אתה באזור שלי אתה מוזמן לכוס קפה.
ובחייאת - אם מישהו מכם מטריח את עצמו לספריה לחפש את העבודה שלי - אנא, אל תחזירו אותה למקום, החרישו אותה בין שני ספרים עבי כרס באיזה מדף נידח (או אפילו טוב יותר - בתוך הספר עצמו. רצוי ספר שאיש לא מתעניין בקיומו - למשל עבודת מאסטר אחרת שהושלמה לפני 17 שנה על ידי סטודנט שלא המשיך בלימודיו)
עמית
אוגוסט 14th, 2008
עמית -
אני לא מאמין לדבריך על התזה שלך. רק יעבור הדדליין בעבודה, ואצא לחפש אותה.
נזכרתי במאמר חביב עליי, בו דקאנג לין הגדיר מידת דמיון.
הוא כמובן מניח כל מיני הנחות כמו שאתה, כנציג המחקר הקוגניטיבי, כנראה הפרכת, אבל המאמר עדיין חמוד:
http://www.cs.ualberta.ca/~lindek/papers/sim.pdf
אורן - מה ידוע לך על מדדי דמיון באתרי מוזיקה, למשל פנדורה? האם מה שהם עושים הוא השוואת רשימות של משתמשים, או שיש השוואה של השירים עצמם?
יובל
אוגוסט 14th, 2008
בגלל בעיה טכנית (לא ברור אם באתר או במחשב שלי) אני לא מצליח לקרוא את 2-3 המילים הראשונות בכל שורה בתגובות.
לגבי פנדורה ודומיהם - למיטב ידיעתי אף אחד לא משווה את המוסיקה עצמה, אלא תאורים שלה (כלומר מיפוי של המוסיקה לאוסף של תכונות, כמו ז'אנר, וכו'). אבל אני כבר לא בתחום די הרבה זמן.
בזמנו דווקא יצא מיזם דווקא מהאוניברסיטה העברית שניסה להשוות את המוסיקה עצמה. נדמה לי שדן גנג (שהיה אז דוקטורנט במדמח) הצטרף לסטארטאפ כזה. לא יודע אם יצא מזה משהו.
בכל מקרה, במוסיקה יש את הבעיה (שבעצם יש תמיד, אבל במוסיקה זה בולט במיוחד) מה משווים. האם משווים את התוים? או את גלי הקול של ביצוע ספציפי? (נניח קובץ mp3)?
בפועל, כאמור, אני חושב שלא עושים אף אחד מהשניים. כל אחד בדרכו מסובך למדי.
עמית
אוגוסט 14th, 2008
אה… ותודה על הלינק למאמר. הצצתי בו. הוא אלגנטי וחביב. כאמור - מידת הדומות שם לא תואמת את מה שקורה במציאות - לא ברור לי מה היא כן מודדת). אני חושב שאחת הבעיות היא במסתכלים על דומות כמין תכונה סטטית (לכל שני אובייקטים יש מידה של דומות בלי קשר למי צופה, מתי צופה, ובאיזה הקשר). ונראה לי שבמציאות הקוגניטיבית דומות היא משהו די דינמי.
עמית
אוגוסט 14th, 2008
פנדורה -
עד כמה שידוע לי, בפנדורה יושבים מתנדבים ומתייגים שירים לפי תכונות שונות (בטח יש רשימה סגורה של כמה מאות תכונות). אם למשל אתה שואל את פנדורה 'למה המלצת על השיר הזה' אז תראה שאתה מקבל תשובה כמו "בגלל שיש בו א-טונאליות, רוק בסיסי עם השפעות של מוזיקה קלאסית וזמרת דומיננטית" או כל מני דברים כאלו.
אני יודע שיש עבודות שמנתחות מוזיקה גם בצורה יותר פורמאלית אבל עמית בטח ביקא יותר ממני.
עמית -
האיזור שלי? משום מה בוסטון עולה לי בראש אבל אני לא בטוח.
אורן
אוגוסט 14th, 2008
סתם הערה:
אם אתה מניח גם סימטריה וגם טרנזיטיביות, אז חילקת את הספרים למחלקות שקילות, וזה בוודאי לא נשמע הגיוני…
ואזכיר גם ניסוי פסיכולוגי שמצא חן בעיני, שבו גילו שאצל אנשים מנתח דומה לקצב יותר מאשר קצב למנתח, ובתקופת המלחמה הקרה בארה"ב קובה היתה קרובה לסין מאשר סין לקובה.
אני מניח שיש גם דברים כאלה בקשר לטרנזיטיביות, למרות שאין לי שום דבר בראש.
אילן
אוגוסט 15th, 2008
אילן -
אתה צודק (יחד עם עמית ואחרים). צריך לחשוב טוב טוב על ההנחות במודל (מה שלא עשיתי). זה די מתסכל שאפילו הנחות פשוטות ולכאורה טבעיות מסתברות כלא ממש מדוייקות.
אורן
אוגוסט 15th, 2008
גם באיחור וגם לא מוכר.
בכל מקרה, בקבלת החלטות אקסיומטית משתמשים בדוגמא של פרדוקס הערימה כדי להסביר מדוע ההנחה שהעדפות של אנשים הן טרנזיטיביות לא מתקיימת. ספציפית, הדוגמא היא על אותן שתי כוסות תה שבאחת גרגר אחד נוסף של סוכר, ומכיוון שאי אפשר להבדיל בטעם, אז כל הפרטים אדישים בין שתי כוסות התה. אבל, אם תוסיף כל פעם גרגר, תקבל בסוף שהכוס בסוף הסדרה מתוקה והכוס בתחילתה לא (הבנתם את הרעיון).
סיון פ
אוגוסט 21st, 2008
[…] (evaluation), כלומר לתת תיקוף חיצוני לביצועי האלגוריתם. בפרדוקס ערימת הספרים כתבתי על הבעייתיות האינהרנטית בהגדרת קשר בין ספרים. זו […]
ספרים קשורים – הערכת ביצועים
ספטמבר 9th, 2008
באיחור משמעותי אני נזכר לומר שהדרך להגדיר מרחק במקרה הזה לטעמי צריכה להיות מוגדרת על ידי ההפרש המינימלי בין קואורדינטות במערכת הצירים שלך כך שהנקודה (1,0) תוגדר כדומה לנקודה (0,0) וזו תוגדר כדומה לנקודה (0,1) בלי ש-(1,0) ו-(0,1) תוגדרנה כדומות.
מדובר בהגדרה בעייתית מאוד כיוון שהיא לא מקיימת את התכונות הבסיסיות של מטריקה ולכן לא ממש ראויה להיקרא מרחק, אבל, ובעיקר, בגלל שהיא תלויה מאוד בבחירת מערכת הצירים, וכאן אנחנו חוזרים לסוגייה שכבר העלית קודם - מה הם המימדים (הצירים) הראויים.
יכול להיות שאפשר להצליח ולייצר מערכת צירים מותאמת לקורא (או למטרה).
שחר
אוקטובר 2nd, 2008
שחר -
את מה שאתה מציע אפשר להכליל למטריקה (טוב, גם זו לא מטריקה במובן המדוייק אבל אפשר להחיל אילוצים) שנקראת דימיון קוסינוסי (cosine similarity) כלומר הדימיון נקבע לפי הזווית בין הווקטורים (הבעיה היא שהזוית בין (1,0) ל (0,1) ול (0,2) היא אותה זוית).
ניסיתי להשתמש בזה וזה לא ממש עבד (כאן צריך לבוא הסבר מה-זאת-אומרת-ניסיתי-להשתמש בזה, כלומר איך הגדרתי את המימדים ואיך נתתי את הערכים וכו' ואז הסבר משוער למה זה לא עבד).
אורן
אוקטובר 2nd, 2008